Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika

See artikkel räägib valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast; ilma valikuaksioomita Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika kohta vaata artiklit ZF

Valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ehk valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli hulgateooria ehk Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ehk Zermelo-Fraenkeli hulgateooria (tähis ZFC või ZF + C) on üks aksiomaatilise hulgateooria variante, tänapäeval standardne variant. See on saanud nime Ernst Zermelo ja Abraham Fraenkeli järgi. Selles teoorias ei ole tagatud kõikide mingit predikaati rahuldavate objektide hulga olemasolu.

ZFC on mõeldud formaliseerima ühte algmõistet, nimelt päriliku fundeeritud hulga mõistet, nii et kõik indiviidid arutluse universumis on niisugused hulgad. Seega käib ZFC aksiomaatika ainult hulkade kohta, mitte urelementide (hulkade elemendid, mis ise ei ole hulgad) ega kõikide klasside (matemaatiliste objektide kogumid, mis on määratletud omadusega, mis neil on) kohta. ZFC aksiomaatika on niisugune, et selle mudelid ei saa sisaldada urelemente ning pärisklasse saab käsitleda ainult kaudselt.

Formaalselt on ZFC ühesordiline teooria esimest järku loogikas. Signatuuris on võrdsusseos ning üksainus algne binaarne seos, kuulumine, mille tähis on tavaliselt ∈. Valem a ∈ b tähendab, et hulk a on hulga b element.

ZFC aksiomaatikal on palju ekvivalentseid formuleeringuid. Enamik ZFC aksioome väidab teiste hulkade kaudu teatud viisil määratletud hulkade olemasolu. Näiteks paari aksioom ütleb, et kui on antud mis tahes kaks hulka a ja b, siis on olemas uus hulk, mille elemendid on täpselt a ja b. Teised aksioomid kirjeldavad kuulumisseose omadusi. ZFC aksiomaatika üks eesmärke on, et iga aksioom oleks tõene, kui teda interpreteerida kõikide von Neumanni universumisse (kumulatiivsesse hierarhiasse) kuuluvate hulkade kohta.

ZFC metamatemaatikat on ulatuslikult uuritud. Väljapaistvad tulemused selles valdkonnas on kontiinumhüpoteesi sõltumatus ZFC aksioomidest ning valikuaksioomi sõltumatus ülejäänud ZFC aksioomidest.